Irakli Koiava

Russian Roulette Technique რუსული რულეტკის მეთოდი არის ფართოდ გავრცელებული ტექნიკა მონტე-კარლოს ინტეგრირების პროცესის შესაწყვეტად(სახელწოდება მოდის ცნობილი რუსული თამაშიდან). იმის მაგივრად, რომ პროცესი შევწყვითოთ ხისტად, მაგალითად შერჩევების რაოდენობის რაიმე მაქსიმალურ რაოდენობაზე, რუსული რულექტკის მეთოდი გვეხმარება ინტეგრირების პროცესის მიუკერძოვებლად შეწყვეტაში. მთავარი იდეა რუსული რულეტკის მეთოდისა არის ის, რომ რუსული რულეტკა წყვეტს მონტე კარლოს მეთოდს რაიმე არანულოვანი p ალბათობით(ალბათობა შეიზლება შეირჩეს ერთხელ ან მონტე კარლოს მეთოდის ყოველ ბიჯზე სათითაოდ რაიმე მნიშვნელოვნობით) ან აგრძელებს მას და შემდგომი პროცესიდან მიღებულ შედეგს ამრავლებს 1/p - ზე. რადგან რუსული რულეტკის მეთოდი პროცესის შეწყვეტას ახდენს რაიმე არანულოვანი p ალბათობით ყოველთვის რჩება იმის შანსი, რომ პროცესი გაგრძელდეს რაც იმას ნიშნავს, რომ მონტე კარლოს ინტეგრირების პროცესისათვის ნებისმიერი სიღრმე მიღწევადი ხდება. სწორედ ამიტომ ხისტი შეზღუდვით მიღებული მიკერძოება( სისტემატიური შეცდომა ) ქრება რუსული რ...

Poisson disk sampling სურათზე ნაჩვენებია 3 კვადრატი, რომელშიც არის დასმული  64 წერტილი  თანაბარი შერჩევით(მარცხენა), შრეებად შერჩევით(შუა) და პუასონის დისკის შერჩევით(მარჯვენა).         მაგალითად გვსურს მოვახდინოთ n წერტილის თანაბარი შერჩევა კვადრატში ამისთვის ყველაზე მარტივი გზა არის, რომ ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად მოვახდინოთ n ცალი შერჩევა და თითოეული შერჩევაზე x და y კოორდინათები შევარჩიოთ განსაზღვრულ დიაპაზონში თანაბრად(შემთხვევითად). ასეთი შერჩევა ადვილი ჩასატარებელია და კორელაციასაც არ განიცდის, თუმცა განაწილება თანაბარს მიუახლოვდება უსასრულობაში და არცერთი ფიქსირებული დროიდ მომენტისთვის ჩვენ არ შეგვიძლია დარწმუნებით ვთქვათ რაიმე ქვემიდამოში არის თუ არა მოხვედრილი შერჩევები. ერთერთი მეთოდი, რომელიც ამ პრობლემას მეტნაკლებად ჭრის არის შრეებად შერჩევა , თუმცა არსებობს მეთოდები რომლებიც კიდევ უფრო კარგ შედეგს იძლევა.         პუასონის დისკის შერჩევა გვეხმარება შერჩევების ფიქსირებული რაოდენობისთვის მოვახდინოთ შერჩევა სასურველ გა...

Normal Distribution სურათზე ნაჩვენებია ნორმალური განაწილების გრაფიკები განსხვავებული  μ  და  σ  პარამეტრებით.         ნორმალური განაწილება არის ერთ-ერთი ყველაზე ხშირად გამოყენებადი განაწილება სტატისტიკაში. ნორმალური განაწილების სიმკვრივის ფუნქცია მოიცემა შემდეგი სახით:         ფუნქცია განსაზღვრულია მთელ ღერძზე და ორივე მიმართულებით მიისწრაფვის 0-სკენ(იხილეთ პირველი სურათი). განაწილება ხასიათდება 2 პარამეტრით  μ  და  σ .   μ  არის ფუნქციის საშუალო, რომელზეც სიმკვრივის ფუნქცია იღებს მაქსიმალურ მნიშვნელობას ხოლო  σ  არის საშუალო კვადრატული გადახრა, რომელიც განსაზღვრავს ფუნქციის გრაფიკის გაშლილობას.         ნორმალურ განაწილებას უწოდებენ სტანდარტულს თუ მისი  μ =0 და  σ=1 .

Cumulative Distribution Function         კუმულაციური განაწილების ფუნქცია F(x) აღწერს ალბათობას იმისა, რომ X შემთხვევითი სიდიდის მნიშვნელობა ნაკლებია ან ტოლი x-ზე.         კუმულაციური განაწილების ფუნქცია, როგორც სახელიდანაც ჩანს, არის დაგროვებითი. შესაბამისად ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი X სიდიდე ნაკლები ან ტოლი იქნება რაიმე x მნიშვნელობაზე ტოლია ყველა იმ ალბათობების ჯამისა, რომ X ტოლი იქნება t-სი, სადაც t≤x. ალბათობა იმისა, რომ X შემთხვევითი სიდიდე ტოლი იქნება რაიმე t-სი ამის შესახებ ინფორმაციას გვაწვდის  ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია . როდესაც უწყვეტ ფუნქციაზე ვლაპარაკობთ ჯამის მაგივრად ვწერთ ინტეგრალს. ეს ფაქტი მათემატიკურად ასე ჩაიწერება:         სწორედ ამ თვისების გამო, რომ ფუნქცია ახდენს ალბათობების დაგროვებას ის არის დადებითი და არაკლებადი მთელს განნსაზღვრის არეზე. ალბათობის სიმკვრივის ფუნქციის შემთხვევაში შემთხვევითი სიდიდის მოხვედრის ალბათობა რაიმე (a,b] შუალედში თუ უდრის ფუნქციის წირსა და x ...

Probability Density Function         ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია(pdf) ასახავს ალბათობას იმისა, რომ უწყვეტი შემთხვევითი სიდიდე იღებს რაიმე მნიშვნელობას. შესაბამისად ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი სიდიდე X ჩავარდება რაიმე [a,b] ინტერვალში მოიცემა ამ ინტერვალზე ფუნქციის ინტეგრალით. მათემატიკურად ასე ჩაიწერება:         ვიზუალურად რომ წარმოვიდგინოთ ეს არის შესაბამის ინტერვალში ფუნქციის წირსა და x ღერძს შორის მოქცეული ფიგურის ფართობი(იხილეთ პირველი სურათი). ფუნქციის ინტეგრალი მთელ ღერძზე არის 1-ის ტოლი. რადგან ფუნქცია ასახავს ალბათობას, შესაბამისად ის არის მთლიანად არაუარყოფითი.         ქართულ ტერმინოლოგიაში ალბათობის სიმკვრივის ფუნქციის ნაცვლად ზოგჯერ იყენებენ განაწილების სიმკვრივეს .

Rejection Sampling         შერჩევა დაწუნებით არის შერჩევის მეთოდი რომელიც ძალიან ხშირად გამოიყენება სტატისტიკური შემთხვევითი შერჩევების დროს.         განვიხილოთ დაწუნებით შერჩევის მაგალითი. ვთქვათ გვინდა მოვახდინოთ წერტილების თანაბრად განაწილებული შერჩევა ერთეულოვანრადიუსიან წრეწირში. შერჩევა დაწუნებით იღებს რაიმე შერჩევის არეს, რომელიც მოიცავს სასურველი შერჩევის არეს და ახდენს მასში შერჩევას. ამ დროს როგორც წესი აღებულ ალტერატიულ არეზე შერჩევა უფრო მარტივად ხდება. ჩვენს შემთხვევაში შეგვიძლია ავიღოთ წრეწირის შემომსაზღვრელი კვადრატი და მასში მოვახდინოთ შერჩევა. ის წერტილები რომლებიც მოხვდებიან წრეწირის შიგნით იქნებიან სასურველი შერჩევის ელემენტები, ხოლო გარეთ მოხვედრილი წერტილების დაწუნება მოხდება. თავად კვადრატში შერჩევა მარტივი პროცესია, წერტილის x, y კოორდინატებს ვიღებთ შემთხვევითად [-1,1] შუალედში.         კვადრატში წერტილების შერჩევისთვის ამ მეთოდის გამოყენება საკმაოდ გავრცელებულია. ამ შემთხვევაში დაწუნებული შერჩევე...

Stratified Sampling მარცხენა სურათზე ნაჩვენებია კვადრატში თანაბარი შერჩევით დასმული 64 წერტილი. შუა და მარჯვენა სურათები უჩვენებენ თანაბარი შრეებად შერჩევით დასმული 64 წერტილს შესაბამისად შრეების გარეშე და შრეებით.          შრეებად შერჩევა არის სტატისტიკური შერჩევის ერთერთი მეთოდი, რომელიც გვეხმარება გავზარდოთ თანაბარი შერჩევის ხარისხი. თანაბარი შემთხვევითი შერჩევის დროს ჩვენ ვიცით, რომ რაც უფრო გავზრდით შერჩევების რაოდენობას მით უფრო თანაბარი გახდება შერჩეული განაწილება თუმცა არანაირი გარანტია არ გვაქვს და წინასწარი ცოდნა იმის შესახებ თუ როდის(რამდენი შერჩევის შემდეგ) მოხდება ეს.         მთავარი იდეა შრეებად შერჩევისა არის ის, რომ ჩვენ უნდა დავყოთ მთელი შერჩევის არე შრეებად და მოვახდინოთ შერჩევა თითოეულ შრეში ცალცალკე. მაგალითად ჩვენ გვინდა დავსვათ 64 წერტილი კვარდატში შემთხვევითად. ასეთ შემთხვევაში იმის მაგივრად, რომ მთელ კვადრატზე მოვახდინოთ შერჩევა, აჯობებს კვადრატი დავყოთ 64 თანაბარ ნაწილად(შრედ) და თითოეულ ნაწილში შევარჩიოთ შემთხ...

Metropolis Algorithm სურათი უჩვენებს მეტროპოლისის ალგორითმის მიერ ლოკალური კვლევის პროცესში გავლილი დზის ტრაექტორიას         მეტროპოლისის მეთოდი გვეხმარება მოვახდინოთ მნიშვნელოვნობით შერჩევა უცნობ განაწილებაში და მივიღოთ სასურველი განაწილების პროპორციული განაწილება ისე, რომ ამავდროულად დავრჩეთ მიუკერძოებელი. მეთოდის სახელი უკავშირდება ბერძნული წარმოშობის ამერიკელი მეცნიერის ნიკოლას მეტროპოლისის  გვარს, რომელიც 50-იან წლებში მეთაურობდა მკვლევარების ჯგუფს, რომლებმაც ამ პერიოდში შეიმუშავეს მონტე კარლოს ინტეგრირების გამოთვლითი მეთოდი. მეტროპოლისი მეორე მსოფლიო ომის შემდგომ ასევე ხელმძღვანელობდა ჯგუფს რომელიც ახდენდა MANIAC I -ისთეორიულ დამუშავებას.         მეტროპოლისის მეთოდი წარმოადგენს შერჩევის მეთოდს რომელიც დაფუძნებულია მარკოვის ჯაჭვებზე. მარკოვის ჯაჭვი არის შერჩევების მიმდევრობა რომელშიც თითოეული შერჩევა დამოკიდებულია მის წინა შერჩევაზე(და არა მთელ მიმდევრობაზე). მეტროპოლისის მეთოდის დახმარებით ჩვენ ვქმნით შერჩევების ასეთ კორელაციუ...